科睿唯安与中国科学院联合发布了《2025研究前沿》报告，聚焦自然科学和社会科学领域的最新研究动态。报告从11大学科领域中遴选出110个热点前沿和18个新兴前沿，全面展示了全球科研创新的趋势与方向。其中，数学领域的研究进展尤为引人注目，多个交叉学科方向展现出颠覆性潜力。
数学领域排名前十的研究前沿集中体现了机器学习与科学计算的深度融合。以“物理引导神经网络在偏微分方程求解中的方法与应用”为例，该方向通过将物理定律嵌入神经网络训练过程，突破了传统数值方法在高维系统求解中的局限。研究团队开发出基于物理约束的深度学习模型，能够自动满足偏微分方程描述的物理规律，为复杂系统建模提供了全新工具。另一项前沿“基于深度去噪先验的迭代优化计算成像”则结合了数据科学与微分方程理论，在图像重建领域实现了计算效率与精度的双重提升。
人工智能理论基础研究同样占据重要地位。“现代机器学习中的双降曲线与泛化现象研究”针对深度学习模型的过参数化特性展开探索。传统统计理论认为，模型复杂度与泛化能力呈U型关系，但深度神经网络却表现出“双降”风险曲线——当参数数量超过训练样本时，测试误差不仅未上升，反而进入第二个下降区间。这一发现挑战了经典认知，为理解大模型的成功机制提供了数学框架。相关研究已吸引全球顶尖机构参与，核心论文产出呈现多极化格局，美国、中国、欧洲的研究团队在该领域形成激烈竞争。
优化理论与统计方法创新持续涌现。“无导数/零阶优化的方法与理论”为黑箱函数优化提供了新思路，特别适用于无法获取梯度信息的复杂系统。“稀疏回归/最优子集选择的精确与可扩展优化方法”则通过数学推导与算法设计，解决了高维数据下的模型选择难题。在统计领域，“高维统计中鲁棒统计推断”针对数据噪声与异常值问题，构建了更具抗干扰能力的推断框架；“非局部模型与分数阶偏微分方程的理论与计算”则拓展了传统建模方法的适用范围，为非线性现象研究提供数学支撑。
物理引导神经网络的研究正从理论探索转向工程应用。研究人员通过改进网络架构设计，使其能够自动满足能量守恒、动量守恒等物理不变量，显著提升了预测结果的物理合理性。在多模态数据融合方面，该技术已成功应用于材料科学、流体力学等领域，通过结合实验观测与物理约束，实现了对隐式物理规律的逆向挖掘。工程界正积极推动其向实时预测场景延伸，例如在航空航天领域构建数字孪生系统，实现结构健康监测的动态仿真。
